Вычислите
\(\displaystyle 27^{4{,}2}\cdot 81^{-2{,}4} : 9^2\small.\)
Все входящие в выражение основания степеней являются степенями числа \(\displaystyle 3\small.\)
Представим все входящие в выражение степени в виде степени числа \(\displaystyle 3\small.\)
Так как \(\displaystyle 27=3^3,\) то
\(\displaystyle 27^{4{,}2}=(3^3)^{4{,}2}=3^{3\cdot 4{,}2}=3^{12{,}6}\small.\)
Так как \(\displaystyle 81=3^4,\) то
\(\displaystyle 81^{-2{,}4}=(3^4)^{-2{,}4}=3^{4\cdot (-2{,}4)}=3^{-9{,}6}\small.\)
Так как \(\displaystyle 9=3^2,\) то
\(\displaystyle 9^{2}=(3^2)^{2}=3^{2\cdot 2}=3^{4}\small.\)
Значит,
\(\displaystyle 27^{4{,}2}\cdot 81^{-2{,}4} : 9^2=3^{12{,}6}\cdot 3^{-9{,}6} : 3^4=\)
\(\displaystyle =3^{12{,}6-9{,}6} : 3^4=3^{3} : 3^4=\)
\(\displaystyle =3^{3-4}=3^{ -1}=\frac{1}{3}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{1}{3}\small.\)