Упростите выражение:
\(\displaystyle \left(a^{\frac{1}{3}}+2\right)^{3} - 6\sqrt[3]{a^2}-12\sqrt[3]{a}\small.\)
По формуле куба суммы
\(\displaystyle \left(a^{\frac{1}{3}}+2\right)^{3}=\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{3}+3\cdot \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{2}\cdot 2+3\cdot a^{\frac{1}{3}}\cdot2^2+ 2^3=\)
\(\displaystyle =a^{\frac{1}{3} \cdot3}+6\cdot a^{\frac{1}{3} \cdot 2} + 3\cdot a^{\frac{1}{3}}\cdot 4 +8=\)
\(\displaystyle =a^{1}+6\cdot a^{\frac{2}{3}} + 12\cdot a^{\frac{1}{3}} +8=\)
\(\displaystyle =a+6\cdot a^{\frac{2}{3}} + 12\cdot a^{\frac{1}{3}} +8\small.\)
Тогда
\(\displaystyle \left(a^{\frac{1}{3}}+2\right)^{3} - 6\sqrt[3]{a^2}-12\sqrt[3]{a}=a+6\cdot a^{\frac{2}{3}} + 12\cdot a^{\frac{1}{3}} +8 - 6\sqrt[3]{a^2}-12\sqrt[3]{a}\small.\)
Получим
\(\displaystyle \left(a^{\frac{1}{3}}+2\right)^{3} - 6\sqrt[3]{a^2}-12\sqrt[3]{a}=a+6\cdot a^{\frac{2}{3}} + 12\cdot a^{\frac{1}{3}} +8 - 6\sqrt[3]{a^2}-12\sqrt[3]{a}=\)
\(\displaystyle =a+6\sqrt[3]{a^2} + 12\sqrt[3]{a} +8- 6\sqrt[3]{a^2} -12\sqrt[3]{a}=a+8\small.\)
Ответ: \(\displaystyle a+8\small.\)