Skip to main content

Теория: 11 Применение свойств степени с рациональным показателем и формул сокращенного умножения для преобразования буквенных выражений

Задание

Упростите выражение:

\(\displaystyle \left(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\right)^{3} - 3\sqrt[3]{a^2b}-3\sqrt[3]{ab^2}\small.\)

a+b
Решение

По формуле куба суммы

\(\displaystyle \left(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\right)^{3}=\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{3}+3\cdot \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{2}\cdot b^{\frac{1}{3}}+3\cdot a^{\frac{1}{3}}\cdot \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^2+ \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^3=\)

\(\displaystyle =a^{\frac{1}{3} \cdot3}+3\cdot a^{\frac{1}{3} \cdot 2}\cdot b^{\frac{1}{3}} + 3\cdot a^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{1}{3}\cdot 2} +b^{\frac{1}{3}\cdot 3}=\)

\(\displaystyle =a^{1}+3\cdot a^{\frac{2}{3}}\cdot b^{\frac{1}{3}} + 3\cdot a^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{2}{3}} +b^1=\)

\(\displaystyle =a+3\cdot a^{\frac{2}{3}}\cdot b^{\frac{1}{3}} + 3\cdot a^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{2}{3}} +b\small.\)

 

Тогда

\(\displaystyle \left(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\right)^{3} - 3\sqrt[3]{a^2b}-3\sqrt[3]{ab^2}=a+3\cdot a^{\frac{2}{3}}\cdot b^{\frac{1}{3}} + 3\cdot a^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{2}{3}}+b - 3\sqrt[3]{a^2b}-3\sqrt[3]{ab^2}\small.\)

 

\(\displaystyle a^{\frac{2}{3}}\cdot b^{\frac{1}{3}}= \sqrt[3]{a^2b}\small.\)

\(\displaystyle a^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{2}{3}}= \sqrt[3]{ab^2}\small.\)

Получим

\(\displaystyle \left(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\right)^{3} - 3\sqrt[3]{a^2b}-3\sqrt[3]{ab^2}=a+3\cdot a^{\frac{2}{3}}\cdot b^{\frac{1}{3}} + 3\cdot a^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{2}{3}}+b - 3\sqrt[3]{a^2b}-3\sqrt[3]{ab^2}=\)

\(\displaystyle =a+3\sqrt[3]{a^2b} + 3\sqrt[3]{ab^2}+b - 3\sqrt[3]{a^2b}-3\sqrt[3]{ab^2}=a+b\small.\)

 

Ответ: \(\displaystyle a+b\small.\)