Упростите выражение:
\(\displaystyle \left(2a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\right)\cdot \left(4a^{\frac{2}{3}}-2a^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)\small.\)
Представим числа \(\displaystyle 4a^{\frac{2}{3}}\) и \(\displaystyle b^{\frac{2}{3}}\small\) как квадраты:
\(\displaystyle 4a^{\frac{2}{3}}=4a^{\frac{1}{3} \cdot 2}=4\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^2=2^2\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^2=\left(2a^{\frac{1}{3}}\right)^2\small,\)
\(\displaystyle b^{\frac{2}{3}}=b^{\frac{1}{3} \cdot 2}=\left(b^{\frac{1}{3}}\right)^2\small,\)
Получим
\(\displaystyle \left(2a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\right)\cdot \left(4a^{\frac{2}{3}}-2a^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)=\left(2a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\right)\cdot \left(\left(2a^{\frac{1}{3}}\right)^2-2a^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{1}{3}}+\left(b^{\frac{1}{3}}\right)^2\right)\small.\)
По формуле суммы кубов получаем:
\(\displaystyle \left(2a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\right)\cdot \left(\left(2a^{\frac{1}{3}}\right)^2-2a^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{1}{3}}+\left(b^{\frac{1}{3}}\right)^2\right)=\left(2a^{\frac{1}{3}}\right)^{3}+\left(b^{\frac{1}{3}}\right)^3=\)
\(\displaystyle =2^3a^{\frac{1}{3}\cdot 3}+b^{\frac{1}{3}\cdot 3}=8a^1+b^1=8a+b\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 8a+b\small.\)