Сократите дробь.
\(\displaystyle \frac{x^{\frac{2}{3}} - 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{5}}}{2y^{\frac{2}{5}} - x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{5}}}=\frac{x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{5}})}{y^{\frac{1}{5}}(2y^{\frac{1}{5}} - x^{\frac{1}{3}})}=\frac{x^{\frac{1}{3}}\cancel {(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{5}})}}{-y^{\frac{1}{5}}\cancel {(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{5}})}}=\frac{x^{\frac{1}{3}}}{-y^{\frac{1}{5}}}=-\frac{x^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{5}}}{\small .}\)
Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.
Для этого вынесем за скобку в числителе множитель \(\displaystyle x^{\frac{1}{3}}{\small ,}\) в знаменателе – множитель \(\displaystyle y^{\frac{1}{5}}{\small :}\)
\(\displaystyle \frac{x^{\frac{2}{3}} - 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{5}}}{2y^{\frac{2}{5}} - x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{5}}}=\frac{x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{5}})}{y^{\frac{1}{5}}(2y^{\frac{1}{5}} - x^{\frac{1}{3}})}{\small .}\)
Многочлены \(\displaystyle x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{5}}\) и \(\displaystyle 2y^{\frac{1}{5}} - x^{\frac{1}{3}}\) в числителе и в знаменателе отличаются только знаком:
\(\displaystyle 2y^{\frac{1}{5}} - x^{\frac{1}{3}}=-(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{5}}){\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \frac{x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{5}})}{y^{\frac{1}{5}}(2y^{\frac{1}{5}} - x^{\frac{1}{3}})}=\frac{x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{5}})}{-y^{\frac{1}{5}}(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{5}})}{\small .}\)
Сократим полученную дробь на общий множитель \(\displaystyle (x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{5}}){\small :}\)
\(\displaystyle \frac{x^{\frac{1}{3}}\cancel {(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{5}})}}{-y^{\frac{1}{5}}\cancel {(x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{5}})}}=\frac{x^{\frac{1}{3}}}{-y^{\frac{1}{5}}}{\small .}\)
Осталось вынести знак "минус" из знаменателя за знак дроби:
\(\displaystyle \frac{x^{\frac{1}{3}}}{-y^{\frac{1}{5}}}=-\frac{x^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{5}}}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle -\frac{x^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{5}}}{\small .}\)